Информация

Среднее квадратичное отклонение

Одним из основных инструментов статистического анализа является расчет среднего квадратичного отклонения. Данный показатель позволяет сделать оценку стандартного отклонения по выборке или по генеральной совокупности. Давайте узнаем, как использовать формулу определения среднеквадратичного отклонения в Excel.

Определение среднего квадратичного отклонения

Сразу определим, что же представляет собой среднеквадратичное отклонение и как выглядит его формула. Эта величина является корнем квадратным из среднего арифметического числа квадратов разности всех величин ряда и их среднего арифметического. Существует тождественное наименование данного показателя — стандартное отклонение. Оба названия полностью равнозначны.

Но, естественно, что в Экселе пользователю не приходится это высчитывать, так как за него все делает программа. Давайте узнаем, как посчитать стандартное отклонение в Excel.

Расчет в Excel

Рассчитать указанную величину в Экселе можно с помощью двух специальных функций СТАНДОТКЛОН.В (по выборочной совокупности) и СТАНДОТКЛОН.Г (по генеральной совокупности). Принцип их действия абсолютно одинаков, но вызвать их можно тремя способами, о которых мы поговорим ниже.

Способ 1: мастер функций

  1. Выделяем на листе ячейку, куда будет выводиться готовый результат. Кликаем на кнопку «Вставить функцию», расположенную слева от строки функций.
  2. Среднее квадратичное отклонение

  3. В открывшемся списке ищем запись СТАНДОТКЛОН.В или СТАНДОТКЛОН.Г. В списке имеется также функция СТАНДОТКЛОН, но она оставлена из предыдущих версий Excel в целях совместимости. После того, как запись выбрана, жмем на кнопку «OK».
  4. Среднее квадратичное отклонение

  5. Открывается окно аргументов функции. В каждом поле вводим число совокупности. Если числа находятся в ячейках листа, то можно указать координаты этих ячеек или просто кликнуть по ним. Адреса сразу отразятся в соответствующих полях. После того, как все числа совокупности занесены, жмем на кнопку «OK».
  6. Среднее квадратичное отклонение

  7. Результат расчета будет выведен в ту ячейку, которая была выделена в самом начале процедуры поиска среднего квадратичного отклонения.

Среднее квадратичное отклонение

Способ 2: вкладка «Формулы»

Также рассчитать значение среднеквадратичного отклонения можно через вкладку «Формулы».

  1. Выделяем ячейку для вывода результата и переходим во вкладку «Формулы».
  2. Среднее квадратичное отклонение

  3. В блоке инструментов «Библиотека функций» жмем на кнопку «Другие функции». Из появившегося списка выбираем пункт «Статистические». В следующем меню делаем выбор между значениями СТАНДОТКЛОН.В или СТАНДОТКЛОН.Г в зависимости от того выборочная или генеральная совокупность принимает участие в расчетах.
  4. Среднее квадратичное отклонение

  5. После этого запускается окно аргументов. Все дальнейшие действия нужно производить так же, как и в первом варианте.
Читайте также:  Процессуальные вопросы вс 2019

Среднее квадратичное отклонение

Способ 3: ручной ввод формулы

Существует также способ, при котором вообще не нужно будет вызывать окно аргументов. Для этого следует ввести формулу вручную.

  1. Выделяем ячейку для вывода результата и прописываем в ней или в строке формул выражение по следующему шаблону:

    =СТАНДОТКЛОН.Г(число1(адрес_ячейки1); число2(адрес_ячейки2);…)
    или

    =СТАНДОТКЛОН.В(число1(адрес_ячейки1); число2(адрес_ячейки2);…).

    Всего можно записать при необходимости до 255 аргументов.

  2. Среднее квадратичное отклонение

  3. После того, как запись сделана, нажмите на кнопку Enter на клавиатуре.

Среднее квадратичное отклонение

Урок: Работа с формулами в Excel

Как видим, механизм расчета среднеквадратичного отклонения в Excel очень простой. Пользователю нужно только ввести числа из совокупности или ссылки на ячейки, которые их содержат. Все расчеты выполняет сама программа.

Намного сложнее осознать, что же собой представляет рассчитываемый показатель и как результаты расчета можно применить на практике.

Но постижение этого уже относится больше к сфере статистики, чем к обучению работе с программным обеспечением.

Функции стандартного отклонения в разных библиотеках

18.08.2021 Голубева Ангелина, Самаркина Валерия, г. Нижний Новгород

Время прочтения: 3 мин.

Для начала рассмотрим на примере работу метода std() двух библиотек pandas и numpy. Импортируем необходимые для обработки данных библиотеки:

import pandas as pd
import numpy as np

Посмотрим на результат работы для заданного массива чисел:

num_list = [1, 2, 3, 4, 6, 2, 4, 2, 6, 3, 3, 3, 8, 4, 3, 2, 1]
df_num_list = pd.DataFrame(num_list)
print('Стандартное отклонение, используя pandas.std() = {}'.format(df_num_list[0].std()))
print('Стандартное отклонение, используя numpy.std() = {}'.format(np.std(num_list)))
Среднее квадратичное отклонение

А почему они разные? Давайте разбираться.

Среднеквадратичное отклонение (англ. standard deviation) – показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Для начала давайте разберёмся с нормальным распределением. На рисунке показан график нормального распределения. По середине проходит нормаль: справа и слева от неё одинаковое количество наблюдений.

Среднее квадратичное отклонение

На графике на оси Х отмечены 3 сигмы. Наблюдение «не вылезет» за пределы сигмы с вероятностью 68,2%, за пределы двух сигм – с вероятностью 95,4%, за пределы трёх сигм – с вероятностью 99,7%. Функции, рассмотренные в начале статьи, вычисляют значение, которое будет вычитаться/добавляться к среднему значению, чтобы получить представление о разбросе/диапазоне значений.

Читайте также:  Срок до включает дату

А теперь про вычисление стандартного отклонения с математической точки зрения:

Среднее квадратичное отклонение

Под знаком суммы вычисляется квадрат разности между средним значением и значением элемента. Дальше всё это суммируется и делится на количество элементов уменьшенное на единицу. В самом конце берется квадратный корень из заданного выражения.

Давайте пошагово проделаем этот алгоритм в Python. Найдем среднее значение с помощью метода mean() библиотеки numpy:

overall_mean = np.mean(num_list)

Вычислим количество элементов с помощью функции len:

list_count = len(num_list)

В цикле будем проходить по каждому элементу, вычислять квадрат разницы и печатать корень из частного:

sum_of_nums = 0
for num in num_list:
sum_of_nums += (num — overall_mean) ** 2
print((sum_of_nums/(list_count — 1)) ** 0.5)
Среднее квадратичное отклонение

Дело в том, что внутри этих методов происходит деление на разные числа: в библиотеке pandas из N (количества элементов) вычитается единица, а в библиотеке numpy не вычитается ничего (происходит деление на N).

Таким образом в первом случае вычисляется стандартное отклонение на основании несмещённой оценки дисперсии, а во втором случае на основании смещённой оценки дисперсии (вычисляется выборочное среднее).

В методе std() библиотеки pandas есть параметр ddof, который позволяет задать число для вычета его из N. Зададим единицу и сравним работу методов:

num_list = [1, 2, 3, 4, 6, 2, 4, 2, 6, 3, 3, 3, 8, 4, 3, 2, 1]
df_num_list = pd.DataFrame(num_list)
print('Стандартное отклонение, используя pandas.std() = {}'.format(df_num_list[0].std()))
print('Стандартное отклонение, используя numpy.std() = {}'.format(np.std(num_list, ddof=1)))
Среднее квадратичное отклонение

Бинго! Всё совпало. Поэтому всегда читайте документацию по работе методов перед их использованием.

Среднеквадратичное отклонение

Эксперт по предмету «Математика»

Предложить статью

С нами работают 108 689 преподавателей из 185 областей знаний. Мы публикуем только качественные материалы

Как работает сервис?

  • При рассмотрении какой-либо величины и её изменения важным является не только понятие среднего арифметического этой величины, но и её отклонение.
  • Для оценки отклонения и разброса измеряемой величины пользуются несколькими различными критериями, например, абсолютной погрешностью, иначе называемой отклонением от среднего каждой конкретной величины.
  • Но абсолютная погрешность не является критерием, показывающим разброс измеряемой величины, так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю.
  • Поэтому для оценки погрешности вводится другая величина, называемая средним квадратическим отклонением.
Читайте также:  Правила продажи обуви

Основные понятия

Для объяснения термина «среднеквадратичное отклонение» необходимо ознакомиться с используемой терминологией.

Средним арифметическим или средней величиной называют число, являющееся суммой всех проведённых измерений, разделённой на количество этих измерений.

  1. Для пяти чисел $a_1, a_2, a_3, a_4$ и $a_5$ средняя величина $M$ определяется по формуле
  2. $M=frac{a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5}{5}$.
  3. Со средним арифметическим также связано другое понятие — математическое ожидание.

Математическое ожидание — это значение среднего арифметического некоторой величины при стремлении количества измерений этой величины к бесконечности.

Математическое ожидание также могут обозначать буквой $M$, а среднее арифметическое некоторого количества измерений исследуемой величины могут называть оценкой математического ожидания.

Абсолютной погрешностью измеряемой единичной величины, иногда также называемой вариантой, является её разность со средним значением $M$.

Для того чтобы найти абсолютную погрешность некоторого единичного измерения $x_i$, обозначаемую греческой буквой $Δ$ (произносится как «дельта»), необходимо отнять от измеренного значения $x_i$ среднее арифметическое $M$: $Δx_i=x_i – M$.

«Среднеквадратичное отклонение» ???? Готовые курсовые работы и рефераты Купить от 250 ₽ Решение учебных вопросов в 2 клика Найти эксперта Помощь в написании учебной работы Узнать стоимость

  • Часто для оценки единичного измерения пользуются не только абсолютной погрешностью, но и относительной погрешностью $δ$, она рассчитывается по формуле:
  • $δ=frac{|Δx_i|}{M} cdot 100$%.
  • Оценив относительную погрешность каждого измерения, можно отбросить значения, погрешность которых слишком большая и при дальнейших расчётах использовать только значения с небольшими относительными погрешностями.

Среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей называют дисперсией и обозначают буквой $D$.

Дисперсия является характеристикой разброса значений некоторой измеряемой случайной величины $x$.

Что такое среднее квадратичное отклонение и как его определять

  1. Теперь перейдём непосредственно к термину «среднеквадратическое отклонение».
  2. Среднеквадратическим отклонением называют значение квадратного корня из дисперсии случайной величины $D$.

  3. Обозначается среднее квадратичное отклонение греческой буквой $ϭ$ (читается как «сигма»).

  4. Формула для среднего квадратичного отклонения для пяти измеренных значений величины $X$ выглядит так:
  5. $ϭ=sqrt{frac{Δx_1